O uso correto segundo a gramática
Por que (separado, sem acento)Utiliza-se nas interrogativas, sejam diretas ou indiretas. É um advérbio interrogativo. Exemplos:
Por que ele foi embora? (interrogativa direta)
Queremos saber por que ele foi embora. (interrogativa indireta)
Dica: Coloque a palavra "motivo" ou "razão" depois de "por que". Se der certo, escreva separado, sem acento.
Queremos saber por que motivo ele foi embora.
Por que pode também equivaler a pelo qual, pela qual pelos quais, pelas quais, sendo o que, nesse caso, um pronome relativo. Exemplo:
Aquele é o quadro por que ela se apaixonou.
Dica: Substitua por que por "pelo qual, pelos quais, pela qual ou pelas quais":
Aquele é o quadro pelo qual ela se apaixonou.
Porque (junto, sem acento)Estabelece uma causa. É uma conjunção subordinativa causal, ou coordenativa explicativa. Exemplos:
Ele foi embora porque cansou daqui.
Não vá porque você é útil aqui.
Dica: Substitua porque por "pois".
Ele foi embora pois se cansou daqui.
Também utiliza-se porque com o sentido de "para que", introduzindo uma finalidade:
Ele mentiu porque o deixassem sossegado.
Por quê (separado, com acento)Em final de frase ou quando a expressão estiver isolada, usa-se por quê. Exemplos:
Ele foi embora por quê?
Você é a favor ou contra? Por quê?
Porquê (junto, com acento)
Equivalendo a causa, motivo, razão, porquê é um substantivo. Neste caso ele é precedido pelo artigo o. Exemplo:
Não quero saber o porquê de sua recusa.
Dica: Substitua "porquê" por "motivo".
Não quero saber o motivo de sua recusa.
Fonte: UOL / Educação